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Newton and Infinite Series -

O cálculo de Isaac Newton realmente começou em 1665 com sua descoberta da série binomial geral (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2!x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3!x 3 + ⋯ para valores racionais arbitrários de n . Com esta fórmula ele foi capaz de encontrar séries infinitas para muitas funções algébricas (funções y de x que satisfazem uma equação polinomial p ( x , y) = 0). Por exemplo, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ e 1 / Raiz quadrada de √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) −1/2 = 1 + 1/2x 2 + 1 ∙ 3/2 ∙ 4x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/2 ∙ 4 ∙ 6x 6 + ⋯.

Vista da Galáxia de Andrômeda (Messier 31, M31). Questionário Questionário sobre astronomia e espaço Como é chamada a parte visível do Sol?

Por sua vez, isso levou Newton a séries infinitas para integrais de funções algébricas. Por exemplo, ele obtido o logaritmo integrando as potências de x na série de (1 + x ) -1, um por um, log (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x 3/ 3 - X 4 / 4 + x 5/ 5 - X 6/ 6 + ⋯, e a série seno inverso através da integração da série para uma raiz / quadrado de √ (1 - x 2), sin-1 ( x ) = x + 1/ 2x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4x 5/ 5 + 1 3 ∙ ∙ 5/ 2 4 ∙ ∙ 6x 7/ 7 + ⋯.

Finalmente, Newton coroou esse desempenho virtuoso calculando a série inversa para x como uma série em potências de y = log ( x ) ey = sin − 1 ( x ), respectivamente, encontrando a série exponencial x = 1 + y / 1! + Y 2/ 2! + Y 3/ 3! + Y 4/ 4! + ⋯ ea série sine x = y - y 3/ 3! + Y 5 / os 5! - y 7 /7! + ⋯.

Observe que a única diferenciação e integração de que Newton precisava eram para potências de x , e o trabalho real envolvia cálculo algébrico com séries infinitas. Na verdade, Newton viu o cálculo como o análogo algébrico da aritmética com decimais infinitos, e ele escreveu em seu Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; "Tratado sobre o método de séries e fluxos"):

Estou pasmo de que não tenha ocorrido a ninguém (exceto a N. Mercator e sua quadratura da hipérbole) ajustar a doutrina recentemente estabelecida para números decimais às variáveis, especialmente porque o caminho está então aberto a consequências mais marcantes. Pois, uma vez que essa doutrina em espécies tem a mesma relação com a álgebra que a doutrina dos números decimais tem com a aritmética comum, suas operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz podem ser facilmente aprendidas com as da última.

Para Newton, esses cálculos eram o epítome do cálculo. Eles podem ser encontrados em seu De Methodis e no manuscrito De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; "Sobre a análise por equações com um número infinito de termos"), que ele escreveu após sua série logarítmica ter sido redescoberta e publicada por Nicolaus Mercator. Newton nunca terminou o De Methodis e, apesar do entusiasmo dos poucos a quem permitiu ler o De Analysi , reteve sua publicação até 1711. Isso, é claro, só o prejudicou em sua disputa de prioridade com Gottfried Wilhelm Leibniz.

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